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es:funcion-de-produccion-cobb-douglas [2015/10/08 08:15] federico |
es:funcion-de-produccion-cobb-douglas [2015/10/08 08:53] federico [Los retornos a escala son α+β] |
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| La forma de la función de producción es la siguiente: | La forma de la función de producción es la siguiente: | ||
| - | Q(L,K) = A L^α K^β | + | Q(L,K) = A L<sup>β</sup>K<sup>α</sup> |
| Donde: | Donde: | ||
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| - El [[producto marginal]] es positivo y decreciente. | - El [[producto marginal]] es positivo y decreciente. | ||
| - | - La [[elasticidad de producción]] es constante e igual a α para L o β para K. | + | - La [[elasticidad de producción]] es constante e igual a α para K o β para L. |
| - | - Los [[retornos a escala]] son constantes e iguales a α+β | + | - Los [[retornos a escala]] son α+β |
| Examinemos ahora estas características mas detenidamente: | Examinemos ahora estas características mas detenidamente: | ||
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| ∂Q / ∂K = | ∂Q / ∂K = | ||
| - | = β * (A L^α) K^(β-1) | + | = α * (A L<sup>β</sup>) K<sup>(α-1)</sup> |
| - | Cabe recordar que β es positivo y menor que 1, por lo tanto, esta función será positiva y decreciente. Es positiva porque todos los elementos que la componen son positivos, entonces a medida que aumenta el capital, aumenta también la producción total. Es menor que uno, porque al ser β positivo y menor que 1, (β-1) es negativo, entonces al aumentar K aumenta la producción total, pero cada vez menos (si lo deseas, puedes calcular la derivada segunda, la cual es negativa). | + | Cabe recordar que α es positivo y menor que 1, por lo tanto, esta función será positiva y decreciente. Es positiva porque todos los elementos que la componen son positivos, entonces a medida que aumenta el capital, aumenta también la producción total. Es menor que uno, porque al ser α positivo y menor que 1, (α-1) es negativo, entonces al aumentar K aumenta la producción total, pero cada vez menos (si lo deseas, puedes calcular la derivada segunda, la cual es negativa). |
| Gráficamente: | Gráficamente: | ||
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| La elasticidad de producción se define como el cambio porcentual en la producción ante un cambio porcentual en alguno de los factores de producción. | La elasticidad de producción se define como el cambio porcentual en la producción ante un cambio porcentual en alguno de los factores de producción. | ||
| - | En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de producción es constante. La elasticidad de producción del factor trabajo es α y la elasticidad de producción del factor capital es β. | + | En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de producción es constante. La elasticidad de producción del factor trabajo es β y la elasticidad de producción del factor capital es α. |
| A continuación, demostraremos porqué la elasticidad de producción es constante: | A continuación, demostraremos porqué la elasticidad de producción es constante: | ||
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| (∂Q/Q) / (∂L/L) = | (∂Q/Q) / (∂L/L) = | ||
| - | = (∂Q/∂L) / (Q/L) Es decir, el producto marginal del trabajo, por el producto medio | + | = (∂Q/∂L) / (Q/L) Es decir, el producto marginal del trabajo dividido el producto medio. |
| = [ Aβ L<sup>β-1</sup>) K<sup>α</sup> ] / [ A L<sup>β</sup> K<sup>α</sup> / L ] | = [ Aβ L<sup>β-1</sup>) K<sup>α</sup> ] / [ A L<sup>β</sup> K<sup>α</sup> / L ] | ||
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| La única diferencia entre el numerador y el denominador es β, entonces: | La única diferencia entre el numerador y el denominador es β, entonces: | ||
| - | elasticidad de producción = = AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> = β | + | Elasticidad de producción = AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> = β |
| + | ===== Los retornos a escala son α+β ===== | ||
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| + | Los retornos a escala miden el cambio proporcional en la cantidad producida, ante un cambio proporcional en la cantidad utilizada de todos los factores de producción. | ||
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| + | Si aumentamos todos los factores de producción en una constante c, el nuevo nivel de producción es: | ||
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| + | Q<sup>'</sup> = A(cL)<sup>β</sup>(cK)<sup>α</sup> | ||
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| + | = Ac<sup>β</sup>L<sup>β</sup>c<sup>α</sup>K<sup>α</sup> | ||
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| + | = c<sup>β</sup>c<sup>α</sup>AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup> | ||
| + | |||
| + | = c<sup>β+α</sup>Q | ||
| + | |||
| + | Entonces, si aumentamos la cantidad utilizada de todos los factores de producción en c, la producción aumentará en c<sup>β+α</sup>. | ||
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| + | Si β+α = 1, la producción también aumentará en c. En este caso, se dice que la función de producción tiene retornos constantes a escala. | ||
| + | |||
| + | Si β+α < 1, la proporción de aumento de la producción será menor que la proporción de aumento de los factores. En este caso, se dice que la función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala. | ||
| + | |||
| + | Si β+α > 1, la proporción de aumento de la producción será mayor que la proporción de aumento de los factores. Es este caso, se dice que la función de producción tiene rendimientos crecientes a escala. | ||