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--- es:funcion-de-produccion-cobb-douglas [2015/10/07 09:54]
federico
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federico
@@ Line 5: / Line 5: @@
 La forma de la función de producción es la siguiente:
-Q(L,K) = A L^α K^β
+Q(L,K) = A L<sup>β</sup>K<sup>α</sup>
 Donde:
@@ Line 26: / Line 26: @@
   - El [[producto marginal]] es positivo y decreciente.
-  - La [[elasticidad de la producción]] es constante e igual a α para L o β para K.
+  - La [[elasticidad de producción]] es constante e igual a α para K o β para L.
-  - Los [[retornos a escala]] son constantes e iguales a α+β
+  - Los [[retornos a escala]] son α+β
 Examinemos ahora estas características mas detenidamente:
@@ Line 37: / Line 37: @@
 ∂Q / ∂K =
-= β * (A L^α) K^(β-1)
+= α * (A L<sup>β</sup>) K<sup>(α-1)</sup>
-Cabe recordar que β es positivo y menor que 1, por lo tanto, esta función será positiva y decreciente. Es positiva porque todos los elementos que la componen son positivos, entonces a medida que aumenta el capital, aumenta también la producción total. Es menor que uno, porque al ser β positivo y menor que 1, (β-1) es negativo, entonces al aumentar K aumenta la producción total, pero cada vez menos (si lo deseas, puedes calcular la derivada segunda, la cual es negativa).
+Cabe recordar que α es positivo y menor que 1, por lo tanto, esta función será positiva y decreciente. Es positiva porque todos los elementos que la componen son positivos, entonces a medida que aumenta el capital, aumenta también la producción total. Es menor que uno, porque al ser α positivo y menor que 1, (α-1) es negativo, entonces al aumentar K aumenta la producción total, pero cada vez menos (si lo deseas, puedes calcular la derivada segunda, la cual es negativa).
 Gráficamente:
 {{:es:cobb-douglas-marginal.png?nolink|}}
+===== La elasticidad de producción es constante =====
+La elasticidad de producción se define como el cambio porcentual en la producción ante un cambio porcentual en alguno de los factores de producción.
+En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de producción es constante. La elasticidad de producción del factor trabajo es β y la elasticidad de producción del factor capital es α.
+A continuación, demostraremos porqué la elasticidad de producción es constante:
+Por definición, la elasticidad de producción es:
+(∂Q/Q) / (∂L/L) =
+= (∂Q/∂L) / (Q/L)  Es decir, el producto marginal del trabajo dividido el producto medio.
+= [ Aβ L<sup>β-1</sup>) K<sup>α</sup> ] / [ A L<sup>β</sup> K<sup>α</sup> / L ]
+Como 1/L es igual a L<sup>-1</sup>, AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup>/L se convierte en AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup>, entonces, la elasticidad de producción es:
+= AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup>
+La única diferencia entre el numerador y el denominador es β, entonces:
+Elasticidad de producción = AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> = β
+===== Los retornos a escala son α+β =====
+Los retornos a escala miden el cambio proporcional en la cantidad producida, ante un cambio proporcional en la cantidad utilizada de todos los factores de producción.
+Si aumentamos todos los factores de producción en una constante c, el nuevo nivel de producción es:
+Q<sup>'</sup> = A(cL)<sup>β</sup>(cK)<sup>α</sup>
+= Ac<sup>β</sup>L<sup>β</sup>c<sup>α</sup>K<sup>α</sup>
+= c<sup>β</sup>c<sup>α</sup>AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup>
+= c<sup>β+α</sup>Q
+Entonces, si aumentamos la cantidad utilizada de todos los factores de producción en c, la producción aumentará en c<sup>β+α</sup>.
+Si β+α = 1, la producción también aumentará en c. En este caso, se dice que la función de producción tiene retornos constantes a escala.
+Si β+α < 1, la proporción de aumento de la producción será menor que la proporción de aumento de los factores. En este caso, se dice que la función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.
+Si β+α > 1, la proporción de aumento de la producción será mayor que la proporción de aumento de los factores. Es este caso, se dice que la función de producción tiene rendimientos crecientes a escala.
+[[Elasticidad de Producción de una Función de Producción Cobb-Douglas]]

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