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es:funcion-de-produccion-cobb-douglas [2015/10/07 09:54] federico |
es:funcion-de-produccion-cobb-douglas [2016/01/02 14:59] (current) federico |
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La forma de la función de producción es la siguiente: | La forma de la función de producción es la siguiente: | ||
- | Q(L,K) = A L^α K^β | + | Q(L,K) = A L<sup>β</sup>K<sup>α</sup> |
Donde: | Donde: | ||
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- El [[producto marginal]] es positivo y decreciente. | - El [[producto marginal]] es positivo y decreciente. | ||
- | - La [[elasticidad de la producción]] es constante e igual a α para L o β para K. | + | - La [[elasticidad de producción]] es constante e igual a α para K o β para L. |
- | - Los [[retornos a escala]] son constantes e iguales a α+β | + | - Los [[retornos a escala]] son α+β |
Examinemos ahora estas características mas detenidamente: | Examinemos ahora estas características mas detenidamente: | ||
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∂Q / ∂K = | ∂Q / ∂K = | ||
- | = β * (A L^α) K^(β-1) | + | = α * (A L<sup>β</sup>) K<sup>(α-1)</sup> |
- | Cabe recordar que β es positivo y menor que 1, por lo tanto, esta función será positiva y decreciente. Es positiva porque todos los elementos que la componen son positivos, entonces a medida que aumenta el capital, aumenta también la producción total. Es menor que uno, porque al ser β positivo y menor que 1, (β-1) es negativo, entonces al aumentar K aumenta la producción total, pero cada vez menos (si lo deseas, puedes calcular la derivada segunda, la cual es negativa). | + | Cabe recordar que α es positivo y menor que 1, por lo tanto, esta función será positiva y decreciente. Es positiva porque todos los elementos que la componen son positivos, entonces a medida que aumenta el capital, aumenta también la producción total. Es menor que uno, porque al ser α positivo y menor que 1, (α-1) es negativo, entonces al aumentar K aumenta la producción total, pero cada vez menos (si lo deseas, puedes calcular la derivada segunda, la cual es negativa). |
Gráficamente: | Gráficamente: | ||
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{{:es:cobb-douglas-marginal.png?nolink|}} | {{:es:cobb-douglas-marginal.png?nolink|}} | ||
+ | ===== La elasticidad de producción es constante ===== | ||
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+ | La elasticidad de producción se define como el cambio porcentual en la producción ante un cambio porcentual en alguno de los factores de producción. | ||
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+ | En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de producción es constante. La elasticidad de producción del factor trabajo es β y la elasticidad de producción del factor capital es α. | ||
+ | |||
+ | A continuación, demostraremos porqué la elasticidad de producción es constante: | ||
+ | |||
+ | Por definición, la elasticidad de producción es: | ||
+ | |||
+ | (∂Q/Q) / (∂L/L) = | ||
+ | |||
+ | = (∂Q/∂L) / (Q/L) Es decir, el producto marginal del trabajo dividido el producto medio. | ||
+ | |||
+ | = [ Aβ L<sup>β-1</sup>) K<sup>α</sup> ] / [ A L<sup>β</sup> K<sup>α</sup> / L ] | ||
+ | |||
+ | Como 1/L es igual a L<sup>-1</sup>, AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup>/L se convierte en AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup>, entonces, la elasticidad de producción es: | ||
+ | |||
+ | = AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> | ||
+ | |||
+ | La única diferencia entre el numerador y el denominador es β, entonces: | ||
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+ | Elasticidad de producción = AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> = β | ||
+ | |||
+ | ===== Los retornos a escala son α+β ===== | ||
+ | |||
+ | Los retornos a escala miden el cambio proporcional en la cantidad producida, ante un cambio proporcional en la cantidad utilizada de todos los factores de producción. | ||
+ | |||
+ | Si aumentamos todos los factores de producción en una constante c, el nuevo nivel de producción es: | ||
+ | |||
+ | Q<sup>'</sup> = A(cL)<sup>β</sup>(cK)<sup>α</sup> | ||
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+ | = Ac<sup>β</sup>L<sup>β</sup>c<sup>α</sup>K<sup>α</sup> | ||
+ | |||
+ | = c<sup>β</sup>c<sup>α</sup>AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup> | ||
+ | |||
+ | = c<sup>β+α</sup>Q | ||
+ | |||
+ | Entonces, si aumentamos la cantidad utilizada de todos los factores de producción en c, la producción aumentará en c<sup>β+α</sup>. | ||
+ | |||
+ | Si β+α = 1, la producción también aumentará en c. En este caso, se dice que la función de producción tiene retornos constantes a escala. | ||
+ | |||
+ | Si β+α < 1, la proporción de aumento de la producción será menor que la proporción de aumento de los factores. En este caso, se dice que la función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala. | ||
+ | |||
+ | Si β+α > 1, la proporción de aumento de la producción será mayor que la proporción de aumento de los factores. Es este caso, se dice que la función de producción tiene rendimientos crecientes a escala. | ||
+ | |||
+ | [[Elasticidad de Producción de una Función de Producción Cobb-Douglas]] |