Função de produção Cobb-Douglas

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====== Função de produção Cobb-Douglas ======

A função de produção Cobb-Douglas é uma forma particular da função de produção.

A forma da função de produção Cobb-Douglas é a seguinte:


Q(L,K) = A L<sup>β</sup>K<sup>α</sup>

Onde:

  * L:trabajo
  * K:capital
  * Q:producción
  * A>0
  * 0<α<1
  * 0<β<1
  * 
Gráfico de uma função de produção Cobb-Douglas:

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A função de produção Cobb-Douglas têm certas características que a tornam muito útil ao construir modelos econômicos que representam a produção.

Algumas das vantagens da função de produção Cobb-Douglas são:

O produto marginal é decrescente e positiva.
Elasticidade de produção é constante e igual a K α ou β de L.
Retornos de escala são α + β

O produto marginal é positivo e decrescente

Esse comportamento do produto marginal é visto em muitas funções de produção da vida real. Para obter o produto marginal de um fator, derivamos o produto total respeito do fator de produção em questão; por exemplo, se estamos analisando o produto marginal do capital:


∂Q / ∂K = 

= α * (A L<sup>β</sup>) K<sup>(α-1)</sup>

Lembre-se que α é positivo e menor que 1, portanto, essa função será positivo e decrescente. É positivo porque todos os elementos que a compõem são positivos, então aumenta o capital, também aumenta a produção total. É menor que um, porque α é positivo e menor que 1, (1-α) é negativo, em seguida, aumentar o K aumenta a produção total, mas cada vez menos (a derivada de segunda ordem é negativa).

Graficamente:


{{:es:cobb-douglas-marginal.png?nolink|}}

A elasticidade de produção é constante

A elasticidade de produção é definida como a variação percentual na produção quando lá uma variação percentual em algum dos fatores de produção.

No caso da função de produção Cobb-Douglas, a elasticidade de produção é constante. A elasticidade da produção do factor trabalho é β e a elasticidade da produção do capital é α.

Vamos mostrar por que a elasticidade da produção é constante:

Por definição, a elasticidade da produção é:

(∂Q/Q) / (∂L/L) = 

= (∂Q/∂L) / (Q/L)  Isto é o produto marginal do trabalho dividiu o produto médio.

= [ Aβ L<sup>β-1</sup>) K<sup>α</sup> ] / [ A L<sup>β</sup> K<sup>α</sup> / L ]

1/L é igual a L<sup>-1</sup>, AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup>/L se converte em AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup>, em seguida, a elasticidade de produção é:

= AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup>

A única diferença entre o numerador eo denominador é β, então:

Elasticidade de produção = AβL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> / AL<sup>β-1</sup>K<sup>α</sup> = β

Retornos de escala são α + β

Os retornos de escala medem o variação proporcional na quantidade produzida, até uma alteração proporcional na quantidade utilizada de todos os factores de produção.

Se aumentamos todos os fatores de produção em uma constante c, o novo nível de produção é:

Q<sup>'</sup> = A(cL)<sup>β</sup>(cK)<sup>α</sup>

= Ac<sup>β</sup>L<sup>β</sup>c<sup>α</sup>K<sup>α</sup>

= c<sup>β</sup>c<sup>α</sup>AL<sup>β</sup>K<sup>α</sup>

= c<sup>β+α</sup>Q

Então, se aumentarmos a quantidade utilizada de todos os factores de produção em c, a produção aumentará em c <sup>β + α</sup>.

Se β + α = 1, a produção também aumentará em c. Neste caso, diz-se que a função de produção tem retornos constantes de escala.

Se β + α < 1, a proporção de aumento da produção será inferior a proporção dos fatores de aumento. Neste caso, diz-se que a função de produção tem retornos decrescentes de escala.

Se β + α > 1, a proporção do aumento de produção será maior do que a proporção dos fatores de aumento. Neste caso, diz-se que a função de produção tem retornos crescentes à escala.


[[Exemplos de Funções de Produção]]
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