Função de produção Cobb-Douglas

A função de produção Cobb-Douglas é uma forma particular da função de produção.

A forma geral da função de produção é a seguinte:

Q(L,K) = A L^βK^α

Onde:

• L:trabajo
• K:capital
• Q:producción
• A>0
• 0<α<1
• 0<β<1

Gráfico de uma função de produção Cobb-Douglas:

A função de produção Cobb-Douglas têm certas características que a tornam muito útil ao construir modelos econômicos que representam a produção.

Algumas das vantagens da função de produção Cobb-Douglas são:

O produto marginal é decrescente e positiva. Elasticidade de produção é constante e igual a K α ou β de L. Retornos de escala são α + β

O produto marginal é positivo e decrescente

Esse comportamento do produto marginal é visto em muitas funções de produção da vida real. Para obter o produto marginal de um fator, derivamos o produto total respeito do fator de produção em questão; por exemplo, se estamos analisando o produto marginal do capital:

∂Q / ∂K =

= α * (A L^β) K^(α-1)

Lembre-se que α é positivo e menor que 1, portanto, essa função será positivo e decrescente. É positivo porque todos os elementos que a compõem são positivos, então aumenta o capital, também aumenta a produção total. É menor que um, porque α é positivo e menor que 1, (1-α) é negativo, em seguida, aumentar o K aumenta a produção total, mas cada vez menos (a derivada de segunda ordem é negativa).

Graficamente:

A elasticidade de produção é constante

A elasticidade de produção é definida como a variação percentual na produção quando lá uma variação percentual em algum dos fatores de produção.

No caso da função de produção Cobb-Douglas, a elasticidade de produção é constante. A elasticidade da produção do factor trabalho é β e a elasticidade da produção do capital é α.

Vamos mostrar por que a elasticidade da produção é constante:

Por definição, a elasticidade da produção é:

(∂Q/Q) / (∂L/L) =

= (∂Q/∂L) / (Q/L) Isto é o produto marginal do trabalho dividiu o produto médio.

= [ Aβ L^β-1) K^α ] / [ A L^β K^α / L ]

1/L é igual a L^-1, AL^βK^α/L se converte em AL^β-1K^α, em seguida, a elasticidade de produção é:

= AβL^β-1K^α / AL^β-1K^α

A única diferença entre o numerador eo denominador é β, então:

Elasticidade de produção = AβL^β-1K^α / AL^β-1K^α = β

Retornos de escala são α + β

Os retornos de escala medem o variação proporcional na quantidade produzida, até uma alteração proporcional na quantidade utilizada de todos os factores de produção.

Se aumentamos todos os fatores de produção em uma constante c, o novo nível de produção é:

Q^' = A(cL)^β(cK)^α

= Ac^βL^βc^αK^α

= c^βc^αAL^βK^α

= c^β+αQ

Então, se aumentarmos a quantidade utilizada de todos os factores de produção em c, a produção aumentará em c ^{β + α}.

Se β + α = 1, a produção também aumentará em c. Neste caso, diz-se que a função de produção tem retornos constantes de escala.

Se β + α < 1, a proporção de aumento da produção será inferior a proporção dos fatores de aumento. Neste caso, diz-se que a função de produção tem retornos decrescentes de escala.

Se β + α > 1, a proporção do aumento de produção será maior do que a proporção dos fatores de aumento. Neste caso, diz-se que a função de produção tem retornos crescentes à escala.